Gemini triangles and their A-vertices trilinear coordinates

César E. Lozada - October 8, 2019

Duplicated Gemini triangles:
Gemini 8 triangle = Garcia-reflection triangle
Gemini 30 triangle = inner-Conway triangle
Gemini 44 triangle = circummedial triangle

1 1 : (b+c)/b : (b+c)/c 38 -sec(A)/a : 1/b : 1/c 75 (a^4-b^2*c^2)/a :
-(c*a+b^2)*(a*b+c^2)/b :
-(c*a+b^2)*(a*b+c^2)/c
2 -1 : (b+c)/b : (b+c)/c 39 (-a+b+c)/a : (a+b+c)/b : (a+b+c)/c 76 (a+b+c)*(a^2+b^2-2*b*c+c^2)/a : 2*c*(a-b-c) : 2*b*(a-b-c)
3 1 : (a+b)/b : (c+a)/c 40 (a+b+c)/a : (-a+b+c)/b : (-a+b+c)/c 77 (a-b-c)^2*(a^2+b^2-2*b*c+c^2)/a :
-2*c*(a-b+c)*(a+b-c) :
-2*b*(a-b+c)*(a+b-c)
4 -1 : (a+b)/b : (c+a)/c 41 (b^2+c^2)/a : a^2/b : a^2/c 78 (a+b+c)*(a^2+b^2-2*b*c+c^2)/a :
(-a+b+c)*(a^2-b^2-c^2)/b :
(-a+b+c)*(a^2-b^2-c^2)/c
5 1 : (a-b)/b : (a-c)/c 42 (a^2+b^2+c^2)/a : a^2/b : a^2/c 79 (a-b-c)^2*(a^2+b^2-2*b*c+c^2)/a :
(a-b+c)*(a+b-c)*(-a^2+b^2+c^2)/b :
(a-b+c)*(a+b-c)*(-a^2+b^2+c^2)/c
6 1 : (b-a)/b : (c-a)/c 43 a : (b^2+c^2)/b : (b^2+c^2)/c 80 a*b+c*a+b^2+c^2 : -c*(a+b+c) : -b*(a+b+c)
7 1 : (a-c)/b : (a-b)/c 44 -a : (b^2+c^2)/b : (b^2+c^2)/c
81 a*b+c*a+b^2+c^2 : c*(a-b-c) : b*(a-b-c)
8 1 : (c-a)/b : (b-a)/c
45 (b-c)^2/a : a^2/b : a^2/c 82 (a^2-b^2-c^2)*(a^2+b^2+c^2)/a :
(a^2+b^2-c^2)*(a^2-b^2+c^2)/b :
(a^2+b^2-c^2)*(a^2-b^2+c^2)/c
9 1 : (-a+b+c)/b : (-a+b+c)/c 46 (b+c)^2/a : a^2/b : a^2/c 83 (b^2+c^2)*(a^2+b^2+c^2-b*c)*(a^2+b^2+c^2+b*c)/a :
-a^2*(a^2+b^2)*(a^2+c^2)/b :
-a^2*(a^2+b^2)*(a^2+c^2)/c
10 -1 : (-a+b+c)/b : (-a+b+c)/c 47 a : (b+c)^2/b : (b+c)^2/c 84 a*(a^2+b^2+c^2)*(a^2-b^2-c^2) :
(b^2+c^2)*(a^2-b^2+c^2)*(a^2+b^2-c^2)/b :
(b^2+c^2)*(a^2-b^2+c^2)*(a^2+b^2-c^2)/c
11 1 : (a+b+c)/b : (a+b+c)/c 48 a : (b-c)^2/b : (b-c)^2/c 85 (a^2-a*b-c*a+2*b*c)/a : a*(a-b-c)/b : a*(a-b-c)/c
12 -1 : (a+b+c)/b : (a+b+c)/c 49 (b+c)^2/a : (b-c)^2/b : (b-c)^2/c 86 (a-b-c)*(a^2+a*b+c*a+2*b*c)/a :
a*(a-b+c)*(a+b-c)/b :
a*(a-b+c)*(a+b-c)/c
13 (b+c)/a : a/b : a/c 50 (b-c)^2/a : (b+c)^2/b : (b+c)^2/c 87 (a-b-c)*(a^2+a*b+c*a+2*b*c) :
(b+c)^2*(a-b+c)*(a+b-c)/b :
(b+c)^2*(a-b+c)*(a+b-c)/c
14 (b+c)/a : 2*a/b : 2*a/c 51 (b-c)^2/a : (b^2+c^2)/b : (b^2+c^2)/c 88 a^2-a*b-c*a+2*b*c : (b-c)^2*(a-b-c)/b : (b-c)^2*(a-b-c)/c
15 (b+c)/a : 1 : 1 52 (b+c)^2/a : (b^2+c^2)/b : (b^2+c^2)/c 89 (b+c)*(a^2+b*c)/a : -a*(b-c)^2/b : -a*(b-c)^2/c
16 (b+c)/a : c/b : b/c 53 (b^2+c^2)/a : (b-c)^2/b : (b-c)^2/c 90 (a^2+b*c)/a : (-a*b-c*a)/b : (-a*b-c*a)/c
17 (b+c)/a : (b-c)/b : (c-b)/c 54 (b^2+c^2)/a : (b+c)^2/b : (b+c)^2/c 91 (b*a^2+c*a^2-2*a*b*c+c*b^2+b*c^2)/a :
-a*(b^2+c^2)/b :
-a*(b^2+c^2)/c
18 (b+c)/a : (c-b)/b : (b-c)/c 55 a : 2*c : 2*b 92 (b*a^2+c*a^2+2*a*b*c+c*b^2+b*c^2)/a :
-a*(b^2+c^2)/b :
-a*(b^2+c^2)/c
19 (b+c)/a : (a+b)/b : (c+a)/c 56 -a : 2*c : 2*b 93 (b*a^2+c*a^2-2*a*b*c+c*b^2+b*c^2)/a :
-a*(b-c)^2/b :
-a*(b-c)^2/c
20 (2*b+2*c)/a : a/b : a/c 57 (b^2+c^2)/a : c : b 94 (b*a^2+c*a^2+2*a*b*c+c*b^2+b*c^2)/a :
-a*(b+c)^2/b :
-a*(b+c)^2/c
21 (a+b+c)/a : a/b : a/c 58 (b^2+c^2)/a : -c : -b 95 (a^2-2*b*c)*(4*a^2-b*c)/a :
2*(b^2-2*c*a)*(c^2-2*a*b)/b :
2*(b^2-2*c*a)*(c^2-2*a*b)/c
22 (a+b+c)/a : -a/b : -a/c 59 (-b*c+c*a+a*b)/a : (a*b+b*c+c*a)/b : (a*b+b*c+c*a)/c 96 (a^2+2*b*c)*(4*a^2-b*c)/a :
-2*(b^2+2*c*a)*(c^2+2*a*b)/b :
-2*(b^2+2*c*a)*(c^2+2*a*b)/c
23 (a+b+c)/a : (b+c)/b : (b+c)/c 60 (a*b+b*c+c*a)/a : (-b*c+c*a+a*b)/b : (-b*c+c*a+a*b)/c 97 (b^2-b*c+c^2)*(a^4+a^2*b^2+a^2*c^2-a^2*b*c+b^2*c^2)/a :
-c*(a^2-a*b+b^2)*(c^2-c*a+a^2) :
-b*(a^2-a*b+b^2)*(c^2-c*a+a^2)
24 (a+b+c)/a : (-b-c)/b : (-b-c)/c 61 (a-b-c)*(a+b+c) : (b+c)*(a-b+c)*(a+b-c)/b : (b+c)*(a-b+c)*(a+b-c)/c 98 (b^2+b*c+c^2)*(a^4+a^2*b^2+a^2*c^2-a^2*b*c+b^2*c^2)/a :
c*(a^2+a*b+b^2)*(c^2+c*a+a^2) :
b*(a^2+a*b+b^2)*(c^2+c*a+a^2)
25 (a+b+c)/a : (a+b)/b : (c+a)/c 62 (-a*b+c*a+b*c)*(a*b-c*a+b*c)*(b^2+b*c+c^2)/a :
(a*b-c*a-b*c)*(-b*c+c*a+a*b)*(a*b+c^2)/b :
(-a*b+c*a-b*c)*(-b*c+c*a+a*b)*(c*a+b^2)/c		 99 (a*b^2+a*c^2+c*b^2+b*c^2)/a :
-a*(a*b+b*c+c*a)/b :
-a*(a*b+b*c+c*a)/c
26 (a+b+c)/a : (c+a)/b : (a+b)/c 63 (-b^2-b*c-c^2)/a :
(a*b+2*c*a+2*b*c+c^2)/b :
(2*a*b+c*a+b^2+2*b*c)/c		 100 (a*b^2+a*c^2+c*b^2+b*c^2)/a :
a*(b*c-c*a-a*b)/b :
a*(b*c-c*a-a*b)/c
27 (a-b-c)/a : a/b : a/c 64 (a*b-c*a-b*c)*(a*b-c*a+b*c)*(b^2-b*c+c^2)/a :
(-a*b+c*a+b*c)*(-b*c+c*a+a*b)*(a*b-2*b*c+c^2)/b :
(a*b-c*a+b*c)*(-b*c+c*a+a*b)*(c*a-2*b*c+b^2)/c		 101 (a^2-b^2-c^2)/a : 2*a^2/b : 2*a^2/c
28 (a-b-c)/a : (b+c)/b : (b+c)/c 65 (a-b-c)*(a+b+c)/a : (a+b-c)*(a-b+c)/b : (a+b-c)*(a-b+c)/c 102 (a-b-c)/a : 2*a/b : 2*a/c
29 1 : (b-c)/b : (c-b)/c 66 (b+c)*(a^2+2*a*b+2*c*a+b^2+b*c+c^2)/a :
-a*(a+b)*(c+a)/b :
-a*(a+b)*(c+a)/c		 103 -a^2 : (b^3+c^3)/b : (b^3+c^3)/c
30 1 : (c-b)/b : (b-c)/c
67 (2*a+b+c)*(a^2+2*a*b+2*c*a+b^2+b*c+c^2)/a :
a*(a+2*b+c)*(a+b+2*c)/b :
a*(a+2*b+c)*(a+b+2*c)/c		 104 -b*c/a : a*(b+c)/b : a*(b+c)/c
31 b*c/a : a^2/b : a^2/c 68 a*b+c*a+b^2+b*c+c^2 : -c*(b+c) : -b*(b+c) 105 (-b-c)/a : (2*a+b+c)/b : (2*a+b+c)/c
32 -b*c/a : a^2/b : a^2/c 69 (b+c)*(-a^2+b^2-b*c+c^2)/a :
-a*(a+b)*(c+a)/b :
-a*(a+b)*(c+a)/c		 106 (-b^2-c^2)/a : (2*a^2+b^2+c^2)/b : (2*a^2+b^2+c^2)/c
33 a : c : b 70 (a-2*b-2*c)*(b^2+c^2+a*b+c*a-b*c)/a :
(b+c)*(2*a+2*b-c)*(2*a-b+2*c)/b :
(b+c)*(2*a+2*b-c)*(2*a-b+2*c)/c		 107 -1/a : 2/b : 2/c
34 -a : c : b 71 (a-3*b+c)*(a+b-3*c) :
(3*a-b-c)*(3*c-a-b)*(b-c)/b :
(3*a-b-c)*(a-3*b+c)*(b-c)/c		 108 (3*a-b-c)/a : (2*a-2*b-2*c)/b : (2*a-2*b-2*c)/c
35 cos(A)/a : 1/b : 1/c 72 b*c*(a^2-b*c)^2/a :
a^2*(-c*a+b^2)*(-a*b+c^2)/b :
a^2*(-c*a+b^2)*(-a*b+c^2)/c		 109 1/a : 2/b : 2/c
36 -cos(A)/a : 1/b : 1/c 73 b*c*(a^4-b^2*c^2)/a :
a^2*(c*a+b^2)*(a*b+c^2)/b :
a^2*(c*a+b^2)*(a*b+c^2)/c		 110 2/a : 1/b : 1/c
37 sec(A)/a : 1/b : 1/c 74 (a^2-b*c)^2/a :
(-c*a+b^2)*(-a*b+c^2)/b :
(-c*a+b^2)*(-a*b+c^2)/c		 111 -3/a : 1/b : 1/c



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